Diferencia entre secuencia aritmética y secuencia geométrica

Secuencia aritmética vs secuencia geométrica
 

El estudio de los patrones de números y su comportamiento es un estudio importante en el campo de las matemáticas. A menudo, estos patrones se pueden ver en la naturaleza y nos ayudan a explicar su comportamiento desde un punto de vista científico. Las secuencias aritméticas y las secuencias geométricas son dos de los patrones básicos que ocurren en números y que a menudo se encuentran en fenómenos naturales.

La secuencia es un conjunto de números ordenados. El número de elementos en la secuencia puede ser finito o infinito.

Más sobre la secuencia aritmética (progresión aritmética)

Una secuencia aritmética se define como una secuencia de números con una diferencia constante entre cada término consecutivo. También se conoce como progresión aritmética..

Sequnece aritmética ⇒ a₁, una₂, una_3, una₄,… , una_norte ; donde un₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, y así sucesivamente.

Si el término inicial es un₁ y la diferencia común es d, entonces la n^th El término de la secuencia está dado por;

una_norte = a₁ + (n-1) d

Tomando el resultado anterior más lejos, el n^th El término se puede dar también como;

una_norte = a_metro + (n-m) d, donde un_metro es un término aleatorio en la secuencia tal que n> m.

El conjunto de números pares y el conjunto de números impares son los ejemplos más simples de secuencias aritméticas, donde cada secuencia tiene una diferencia común (d) de 2.

El número de términos en una secuencia puede ser infinito o finito. En el caso infinito (n → ∞), la secuencia tiende a infinito dependiendo de la diferencia común (a_norte → ± ∞). Si la diferencia común es positiva (d> 0), la secuencia tiende a infinito positivo y, si la diferencia común es negativa (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

La suma de los términos en la secuencia aritmética se conoce como la serie aritmética: S_norte= a₁ + una₂ + una₃ + una₄ + ⋯ + a_norte = ∑_{i = 1 → n} una_yo; y S_norte = (n / 2) (a₁ + una_norte) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] da el valor de la serie (S_norte).

Más sobre la secuencia geométrica (progresión geométrica)

Una secuencia geométrica se define como una secuencia en la que el cociente de dos términos consecutivos es una constante. Esto también se conoce como progresión geométrica..

Secuencia geométrica ⇒ a₁, una₂, una₃, una₄,… , una_norte; donde un₂/una₁ = r, a₃/una₂ = r, y así sucesivamente, donde r es un número real.

Es más fácil representar la secuencia geométrica utilizando la razón común (r) y el término inicial (a). De ahí la secuencia geométrica ⇒ a₁, una₁r, a₁r², una₁r³,… , una₁r^n-1.

La forma general de la n^th términos dados por un_norte = a₁r^n-1. (Perdiendo el subíndice del término inicial ⇒ a_norte = ar^n-1)

La secuencia geométrica también puede ser finita o infinita. Si el número de términos es finito, se dice que la secuencia es finita. Y si los términos son infinitos, la secuencia puede ser infinita o finita dependiendo de la relación r. La relación común afecta muchas de las propiedades en secuencias geométricas.. 

r> o	0 < r < +1	La secuencia converge - decaimiento exponencial, es decir, unnorte → 0, n → ∞
	r = 1	Secuencia constante, es decir, unanorte = constante
	r> 1	La secuencia diverge: crecimiento exponencial, es decir, unanorte → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	La secuencia es oscilante, pero converge.
	r = 1	La secuencia es alternante y constante, es decir, unanorte = ± constante
	r < -1	La secuencia es alternante y divergente. es decir, unnorte → ± ∞, n → ∞
r = 0	La secuencia es una cadena de ceros.

N.B: En todos los casos anteriores, un₁ > 0; si un₁ < 0, the signs related to a_norte será invertido.

El intervalo de tiempo entre los rebotes de una bola sigue una secuencia geométrica en el modelo ideal, y es una secuencia convergente.

La suma de los términos de la secuencia geométrica se conoce como una serie geométrica; S_norte = ar + ar² + Arkansas³ + ⋯ + ar^norte = ∑_{i = 1 → n} Arkansas^yo. La suma de las series geométricas se puede calcular utilizando la siguiente fórmula.

S_norte = a (1-r^norte ) / (1-r); donde a es el término inicial y r es la relación.

Si la relación, r ≤ 1, la serie converge. Para una serie infinita, el valor de convergencia viene dado por S_norte = a / (1-r) 

¿Cuál es la diferencia entre la secuencia aritmética y la geométrica??

• En una secuencia aritmética, dos términos consecutivos tienen una diferencia común (d) mientras que, en secuencia geométrica, dos términos consecutivos tienen un cociente constante (r).

• En una secuencia aritmética, la variación de los términos es lineal, es decir, se puede dibujar una línea recta que pase por todos los puntos. En una serie geométrica, la variación es exponencial; ya sea en crecimiento o en descomposición en función de la proporción común.

• Todas las secuencias aritméticas infinitas son divergentes, mientras que las series geométricas infinitas pueden ser divergentes o convergentes.

• La serie geométrica puede mostrar la oscilación si la relación r es negativa, mientras que la serie aritmética no muestra la oscilación